Has tenido ocasión de comprobar en el pasado la utilidad del álgebra vectorial. Esta utilidad radica en que hay muchísimas magnitudes físicas que tienen intensidad (o módulo) y dirección, como por ejemplo la velocidad o la fuerza. Los vectores se usan para representar las magnitudes de este tipo, y el álgebra de vectores para manejarlas y hacer cálculos con ellas.
Según convenga para el propósito particular, se usan vectores de distintos tipos:
- Vector deslizante. Puede considerarse en cualquier posición dentro de una recta ("recta de acción"). Dos vectores de igual módulo y sentido sobre la misma recta, son el mismo vector deslizante.
- Vector ligado. Está asociado a un determinado punto del espacio (punto de aplicación).
- Vector libre. no se considera asociado a ningún punto ni recta particular.
Circunstancialmente
puede convenir considerar el vector libre de igual módulo y dirección
que un vector ligado (o deslizante). Decimos que se trata del "vector libre asociado" al vector ligado (o deslizante). Decimos que dos vectores son "equipolentes" si tienen el mismo vector libre asociado.
Las operaciones más comunes con vectores son las siguientes:
Adición de vectores.Producto de un vector por un escalar.Producto escalar de dos vectores.Producto vectorial de dos vectores.
Sin duda
recordarás la definición de estas operaciones, y sus expresiones en
función de unas componentes cartesianas de los vectores. Si no es así,
conviene que repases las fuentes oportunas de las asignaturas de
matemáticas.
En principio, esas operaciones se definen para vectores libres, aunque pueden definirse para vectores deslizantes o ligados bajo ciertas circunstancias. Por ejemplo, la adición de vectores deslizantes está definida si las rectas de acción de los vectores pasan por un punto.
Un sistema de vectores es
un conjunto cualquiera de vectores del mismo tipo. Por tanto, hay
sistemas de vectores ligados, deslizantes y libres. Siempre hay que
tener en cuenta que el uso de uno u otro tipo de vectores está en
función de su utilidad para el problema en consideración.
MOMENTO DE UN VECTOR DESLIZANTE
La Teoría
clásica de la Elasticidad que se estudia en la asignatura, presupone el
estado de equilibrio del sólido analizado, y por tanto de cualquiera de
sus partes. Como es sabido, a efectos del equilibrio, es indiferente que
las fuerzas se apliquen en uno u otro punto, con tal de que se
mantengan en la misma línea de acción. Por ello, el álgebra de vectores deslizantes es
especialmente interesante en todos los problemas que involucren
equilibrio de fuerzas. A continuación se reseñan algunos de sus
conceptos básicos.
Momento de un vector deslizante v respecto de un punto O.
SISTEMAS DE VECTORES DESLIZANTES
Un sistema de vectores deslizantes es cualquier conjunto de vectores deslizantes, digamos vi, con i=1...n, actuando en sus respectivas rectas de acción (ri). Llamaremos Ai a un punto genérico en la recta de acción (ri) del vector vi.
Resultante de un sistema de vectores deslizantes.
Es un vector libre R que se obtiene como adición de los vectores libres asociados a los vectores del sistema:
R = v1 + v2 +...+ vn = S vi
Se le conoce también como primer invariante del sistema de vectores.
Campo de momentos de un sistema de vectores deslizantes.
En primer lugar se define el momento Mo del
sistema de vectores respecto de un punto O, que se obtiene como la
adición de los momentos de cada uno de los vectores del sistema respecto
de O, y puede considerarse como un vector libre o ligado a O, según
convenga.
Mo = S OAi x vi
El momento es diferente para cada punto del espacio O elegido, por lo que se engendra un campo de momentos. Conocido el momento respecto de un punto O, es inmediato hallar el momento respecto de otro punto O', que resulta ser:
Mo' = Mo + O'O x R
Que es la ecuación del campo de momentos.
ALGUNAS PROPIEDADES DEL CAMPO DE MOMENTOS DE UN SISTEMA DE VECTORES DESLIZANTES
1.- El momento respecto de dos puntos O y O' no varía si OO' es paralelo a R.
2.- Un sistema de resultante nula genera un campo uniforme de momentos.
Ambas son evidentes a la vista de la ecuación del campo de momentos.
3.- El producto escalar de la resultante por el momento en un punto es invariante respecto del punto elegido.
Se comprueba sin mas que multiplicar la ecuación del campo de momentos escalarmente por R, lo que produce R.Mo' = R.Mo. Este producto escalar se denomina "segundo invariante" del sistema de vectores.
Otra manera de
enunciar esta propiedad es que la proyección del momento respecto de
cualquier punto sobre la dirección de la resultante es constante.
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